拓撲空間

上圖為三點集合{1,2,3}上四個拓撲的例子和兩個反例。左下角的集合並不是個拓撲空間，因為缺少{2}和{3}的聯集{2,3}；右下角的集合也不是個拓撲空間，因為缺少{1,2}和{2,3}的交集{2}。

拓撲空間（英語：Topological space）是一種數學結構，可以在上頭形式化地定義出如收斂、連通、連續等概念。拓撲空間在現代數學的各個分支都有應用，是一個居於中心地位的、統一性的概念。拓撲空間有獨立研究的價值，研究拓撲空間的數學分支稱為拓撲學。

定義

拓撲空間是一個集合 $X$ 和其上定義的拓撲結構 $\tau$ 組成的二元組 $(X,\tau )$ 。 $X$ 的元素 $x$ 通常稱為拓撲空間 $(X,\tau )$ 的點。而拓撲結構 $\tau$ 一詞涵蓋了開集，閉集，鄰域，開核，閉包，導來集，濾子等若干概念。從這些概念出發，可以給拓撲空間 $(X,\tau )$ 作出若干種等價的定義。在教科書中最常見的定義是從開集開始的。

開集公理

$X$ 的子集的集族 ${\mathfrak {O}}$ 稱為開集系（其中的元素稱為開集），若且唯若其滿足如下開集公理：

O₁： $\varnothing \in {\mathfrak {O}}$ ， $X\in {\mathfrak {O}}$ 。
O₂：若 $A_{{\lambda }}\in {\mathfrak {O}}$ （ $\lambda \in \Lambda$ ），則 $\bigcup _{{\lambda \in \Lambda }}A_{{\lambda }}\in {\mathfrak {O}}$ （對任意並運算封閉）。
O₃：若 $A,B\in {\mathfrak {O}}$ ，則 $A\cap B\in {\mathfrak {O}}$ 。（對有限交運算封閉）。

從開集出發定義其它各概念：

從開集定義閉集： $X$ 的子集 $A$ 是閉集，若且唯若 $X-A$ 是開集。
從開集定義鄰域： $X$ 的子集 $U$ 是點 $x$ 的鄰域，若且唯若存在開集 $O$ ，使 $x\in O\subseteq U$ 。
從開集定義開核： $X$ 的子集 $A$ 的開核 $A^{{\circ }}$ 等於 $A$ 包含的所有開集之並。

閉集公理

$X$ 的子集的集族 ${\mathfrak {F}}$ 稱為閉集系（其中的元素稱為閉集），若且唯若其滿足如下閉集公理：

C₁： $\varnothing \in {\mathfrak {F}}$ ， $X\in {\mathfrak {F}}$ 。
C₂：若 $A_{{\lambda }}\in {\mathfrak {F}}$ （ $\lambda \in \Lambda$ ），則 $\bigcap _{{\lambda \in \Lambda }}A_{{\lambda }}\in {\mathfrak {F}}$ （對任意交運算封閉）。
C₃：若 $A,B\in {\mathfrak {F}}$ ，則 $A\cup B\in {\mathfrak {F}}$ 。（對有限並運算封閉）。

（顯然，閉集是開集的對偶概念）。

從閉集出發定義其它各概念：

從閉集定義開集： $X$ 的子集 $A$ 是開集，若且唯若 $X-A$ 是閉集。
從閉集定義閉包： $X$ 的子集 $A$ 的閉包 $\overline{A}$ 等於包含A的所有閉集之交。

鄰域公理

$X$ 的映射 ${\mathfrak {U}}:X\to P(P(X))$ （ $P(P(X))$ 指 $X$ 的冪集的冪集）。這樣 ${\mathfrak {U}}$ 將 $X$ 的每個點 $x$ 映射至 $X$ 的子集族 ${\mathfrak {U}}(x)$ 。 ${\mathfrak {U}}(x)$ 稱為 $x$ 的鄰域系（ ${\mathfrak {U}}(x)$ 的元素稱為 $x$ 的鄰域），若且唯若對任意的 $x \in X$ ， ${\mathfrak {U}}(x)$ 滿足如下鄰域公理：

U₁：若 $U\in {\mathfrak {U}}(x)$ ，則 $x\in U$ 。
U₂：若 $U,V\in {\mathfrak {U}}(x)$ ，則 $U\cap V\in {\mathfrak {U}}(x)$ 。（鄰域系對鄰域的有限交封閉）。
U₃：若 $U\in {\mathfrak {U}}(x)$ ， $U\subseteq V\subseteq X$ ，則 $V\in {\mathfrak {U}}(x)$ 。
U₄：若 $U\in {\mathfrak {U}}(x)$ ，則存在 $V\in {\mathfrak {U}}(x)$ ，且 $V\subseteq U$ ，使對所有 $y\in V$ ，有 $U\in {\mathfrak {U}}(y)$ 。

從鄰域出發定義其它概念：

從鄰域定義開集： $X$ 的子集 $O$ 是開集，若且唯若對任意 $x\in O$ ，有 $O\in {\mathfrak {U}}(x)$ 。（ $O$ 是其中每個點的鄰域）。
從鄰域定義開核： $X$ 的子集 $A$ 的開核 $A^{{\circ }}=\{x|\exists U\in {\mathfrak {U}}(x),U\subseteq A\}$ 。
從鄰域定義閉包： $X$ 的子集 $A$ 的閉包 $\overline {A}=\{x|\forall U\in {\mathfrak {U}}(x),U\cap A\neq \varnothing \}$ 。

閉包公理

$X$ 的冪集 $P(X)$ 上的一元運算 $c:P(X)\to P(X)$ （即將 $X$ 的子集A映射為 $X$ 的子集 $c(A)$ ）稱為閉包運算（像稱為原像的閉包）。若且唯若運算 $c$ 滿足下述的閉包公理：

A₁： $A\subseteq c(A)$ ；
A₂： $c(c(A))=c(A)$ ；
A₃： $c(A\cup B)=c(A)\cup c(B)$ ；
A₄： $c(\varnothing )=\varnothing$ 。

集合 $A$ 的閉包通常記為 $\overline{A}$ 。

從閉包出發定義其它概念：

從閉包定義閉集： $X$ 的子集 $A$ 是閉集，若且唯若 $A=\overline {A}$ 。
從閉包定義開核： $X$ 的子集 $A$ 的開核 $A^{{\circ }}=X-\overline {X-A}$ 。
從閉包定義鄰域： $X$ 的子集 $U$ 是點 $x$ 的鄰域，若且唯若 $x\notin {\overline {X-U}}$ 。

開核公理

$X$ 的冪集 $P(X)$ 上的一元運算 $o:P(X)\to P(X)$ （即將 $X$ 的子集A映射為 $X$ 的子集 $o(A)$ ）稱為開核運算（像稱為原像的開核或內部）。若且唯若運算 $o$ 滿足如下開核公理：

I₁： $o(A)\subseteq A$ ；
I₂： $o(o(A))=o(A)$ ；
I₃： $o(A\cap B)=o(A)\cap o(B)$ ；
I₄： $o(X)=X$ 。

集合 $A$ 的開核通常記為 $A^{{\circ }}$ 。（顯然，開核運算是閉包運算的對偶概念）。

從開核出發定義其它概念：

從開核定義開集： $X$ 的子集 $A$ 是開集，若且唯若 $A=A^{{\circ }}$ 。
從開核定義鄰域： $X$ 的子集 $U$ 是點 $x$ 的鄰域，若且唯若 $x\in U^{{\circ }}$ 。
從開核定義閉包： $X$ 的子集 $A$ 的閉包 $\overline {A}=X-(X-A)^{{\circ }}$ 。

導來集公理

$X$ 的冪集 ${\mathcal {P}}(X)$ 上的一元運算 $d:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)$ （即將 $X$ 的子集 $A$ 映射為 $X$ 的子集 $d(A)$ ）稱為導來集運算（像稱為原像的導來集），若且唯若 $d$ 滿足以下導來集公理：

D₁： $d(\varnothing )=\varnothing$ ；
D₂： $d(d(A))\subseteq d(A)\cup A$ ；
D₃： $\forall x\in X,\ d(A)=d(A-\{x\})$ ；
D₄： $d(A\cup B)=d(A)\cup d(B)$

從導來集出發定義其它概念：

從導來集定義閉集： $X$ 的子集 $A$ 是閉集，若且唯若 $d(A)\subseteq A$ 。

拓撲之間的關係

同一個全集可以擁有不同的拓撲，有些是有用的，有些是平庸的，這些拓撲之間可以形成一種偏序關係。當拓撲 ${\mathfrak {T}}_{1}$ 的每一個開集都是拓撲 ${\mathfrak {T}}_{2}$ 的開集時，稱拓撲 ${\mathfrak {T}}_{2}$ 比拓撲 ${\mathfrak {T}}_{1}$ 更細，或稱拓撲 ${\mathfrak {T}}_{1}$ 比拓撲 ${\mathfrak {T}}_{2}$ 更粗。

僅依賴於特定開集的存在而成立的結論，在更細的拓撲上依然成立；類似的，僅依賴於特定集合不是開集而成立的結論，在更粗的拓撲上也依然成立。

最粗的拓撲是由空集和全集兩個元素構成的拓撲，最細的拓撲是離散拓撲，這兩個拓撲都是平庸的。

在有些文獻中，我們也用大小或者強弱來表示這裡粗細的概念。

連續映射與同胚

類似定義拓撲空間，連續映射也有基於開集，閉集，開核，閉包和鄰域等概念的等價定義。

拓撲空間上的一個映射 $f$ 稱為連續映射，若且唯若它滿足以下條件之一：

$f$ 對任何開集的原像是開集。（這個定義符合我們關於連續映射不會出現破碎或者分離的直觀印象。）
$f$ 對任何閉集的原像是閉集。
對點 $f(x)$ 的任一鄰域 $V$ ，都存在點 $x$ 的一個鄰域 $U$ ，使得 $f(U)\subset V$ ，則稱 $f(x)$ 在點 $x$ 連續，而連續映射即點點連續的映射。
對任一集合 $A$ ， $f(\overline {A})\subseteq \overline {f(A)}$ 成立。
對任一集合 $A$ ， $f^{{-1}}(A^{{\circ }})\subseteq (f^{{-1}}(A))^{{\circ }}$ 成立。

同胚映射是一個連續的對射，並且它的逆映射也連續。兩個拓撲空間之間存在同胚映射，則稱這兩個空間是同胚的。從拓撲學的觀點上來講，同胚的空間是等同的。

拓撲空間範疇

拓撲空間作為物件，連續映射作為態射，構成了拓撲空間範疇，它是數學中的一個基礎性的範疇。試圖通過不變數來對這個範疇進行分類的想法，激發和產生了整個領域的研究工作，包括同倫論、同調論和K-理論。

拓撲空間的例子

實數集R構成一個拓撲空間：全體開區間構成其上的一組拓撲基，其上的拓撲就由這組基來生成。這意味著實數集R上的開集是一組開區間的並（開區間的數量可以是無窮多個，但進一步可以證明，所有的開集可以表示為可數個互不相交的開區間的並）。從許多方面來說，實數集都是最基本的拓撲空間，並且它也指導著我們獲得對拓撲空間的許多直觀理解；但是也存在許多「奇怪」的拓撲空間，它們有悖於我們從實數集獲得的直觀理解。
更一般的，n維歐幾里得空間Rⁿ構成一個拓撲空間，其上的開集就由開球來生成。
任何度量空間都可構成一個拓撲空間，如果其上的開集由開球來生成。這中情況包括了許多非常有用的無窮維空間，如泛函分析領域中的Banach空間和希爾伯特空間。
任何局部體都自然地擁有一個拓撲，並且這個拓撲可以擴張成為這個域上的向量空間。
除了由全體開區間生成的拓撲之外，實數集還可以賦予另外一種拓撲—下限拓撲（lower limit topology）。這種拓撲的開集由下列點集構成—空集、全集和由全體半開區間[a, b)生成的集合。這種拓撲嚴格地細於上面定義的歐幾里得拓撲；在這種拓撲空間中，一個點列收斂於一點，若且唯若，該點列在歐幾里得拓撲中也收斂於這個點。這樣我們就給出了一個集合擁有不同拓撲的示例。
流形都是一個拓撲空間。
每一個單形都是一個拓撲空間。單形是一種在計算幾何學中非常有用的凸集。在0、1、2和3維空間中，相應的單形分別是點、線段、三角形和四面體。
每一個單體複形都是一個拓撲空間。一個單體複形由許多單形構成。許多幾何體都可以通過單體複形—來建立模型，參見多胞形（Polytope）。
扎里斯基拓撲是一種純粹由代數來定義的的拓撲，這種拓撲建立在某個環的交換環譜之上或者某個代數簇之上。對Rⁿ或者Cⁿ來說，相應扎里斯基拓撲定義的閉集，就是由全體多項式方程式的解集合構成。
線性圖是一種能推廣圖的許多幾何性質的拓撲空間。
泛函分析中的許多算子集合可以獲得一種特殊的拓撲，在這種拓撲空間中某一類函數序列收斂於零函數。
任何集合都可以賦予離散拓撲。在離散拓撲中任何一個子集都是開集。在這種拓撲空間中，只有常數列或者網是收斂的。
任何集合都可以賦予平庸拓撲。在平庸拓撲中只有空集和全集是開集。在這種拓撲空間中，任和一個序列或者網都收斂於任何一個點。這個例子告訴我們，在某些極端情況下，一個序列或者網可能不會收斂於唯一的一個點。
有限補拓撲。設X是一個集合。X的所有有限子集的補集加上空集，構成X上的一個拓撲。相應的拓撲空間稱為有限補空間。有限補空間是這個集合上最小的T₁拓撲。
可數補拓撲。設X是一個集合。X的所有可數子集的補集加上空集，構成X上的一個拓撲。相應的拓撲空間稱為可數補空間。
如果Γ是一個序數，則集合[0, Γ]是一個拓撲空間，該拓撲可以由區間(a, b]生成，此處a和b是Γ的元素。

例子

X = {1,2,3,4} 和 X 內兩個子集組成的集族 τ = {∅, X} 會形成一個密著拓撲。
X = {1,2,3,4} 和 X 內六個子集組成的集族 τ = {∅,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4}} 會形成另一個拓撲。
X = ℤ（整數集合）及集族 τ 等於所有的有限整數子集加上 ℤ 自身不是一個拓撲，因為（例如）所有不包含零的有限集合的聯集是無限的，但不是 ℤ 的全部，因此不在 τ 內。
1個元素的集上總拓撲數顯然只有1個。
2個元素的集上總拓撲數顯然只有4個。
3個元素的集上總拓撲數只有29個。
4個元素的集上總拓撲數只有355個。
n個元素的集上總拓撲數規律還在研究中，不過已取得些成果。參見OEIS-A000798說明

3點集 X={a,b,c}的拓撲總共有29個,可分為九類，具體如下：

{∅, X}
{∅,{a},X},{∅,{b},X},{∅,{c},X}
{∅,{a,b},X},{∅,{a,c},X},{∅,{b,c},X}
{∅,{a},{b,c},X},{∅,{b},{a,c},X},{∅,{c},{a,b},X}
{∅,{a},{a,b},X},{∅,{a},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},X},{∅,{b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},X},{∅,{c},{b,c},X}
{∅,{a},{a,b},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},{b,c},X}
{∅,{a},{b},{a,b},X},{∅,{a},{c},{a,c},X},{∅,{b},{c},{b,c},X}
{∅,{a},{b},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{a},{c},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{c},{a,c},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,b},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,c},{b,c},X}
{∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},X}

拓撲空間的構造

拓撲空間的任何一個子集都可以被賦予一個子空間拓撲，子空間拓撲中的開集是全空間上的開集和子空間的交。
對任何非空的拓撲空間族，我們可以構造出這些拓撲空間的積上的拓撲，這種拓撲稱為積拓撲。對於有限積來說，積空間上的開集可以由空間族中各個空間的開集的積生成出來。
商拓撲可以被如下地定義出來：若X是一個拓撲空間，Y是一個集合，如果f : X → Y是一個滿射，那麼Y獲得一個拓撲；該拓撲的開集可如此定義，一個集合是開的，若且唯若它的逆像也是開的。可以利用f自然投影確定下X上的等價類，從而給出拓撲空間X上的一個等價關係。
Vietoris拓撲

拓撲空間的分類

依據點和集合分離的程度、大小、連通程度、緊性等。可以對拓撲空間進行各種各樣的分類。並且由於這些分類產生了許多不同的術語。

以下假設X為一個拓撲空間。

分離公理

詳細資料請參照分離公理以及相關條碼。有些術語在老的文獻中採用了不同地定義方式，請參照分離公理的歷史。

拓撲不可區分性

X中兩個點x，y稱為拓撲不可區分的，若且唯若如下結論之一成立：

對X中每個開集U，或者U同時包含x，y兩者，或者同時不包含它們。
x的鄰域系和y的鄰域系相同。
$x\in \overline {\{y\}}$ ，且 $y\in \overline {\{x\}}$ 。

可數公理

可分的: X稱為可分的，若且唯若它擁有一個可數的稠密子集。
第一可數: X稱為第一可數的，若且唯若其任何一個點都有一個可數的局部基。
第二可數: X稱為第二可數的，若且唯若其擁有一個可數的基。

連通性

連通: X稱為連通的，若且唯若它不是兩個無交的非空開集的並。（或等價地，該空間的閉開集（既開又閉的集合）只有空集和全空間兩者）。
局部連通: X稱為局部連通的，若且唯若它的每個點都存在一個特殊的局部基，這個局部基由連通集構成。
完全不連通: X稱為完全不連通的，若且唯若不存在多於一個點的連通子集。
路徑連通: X稱為路徑連通的，若且唯若其任意兩點x和y，存在從x到y的道路p，也即，存在一個連續映射p: [0,1] → X，滿足p（0）= x 且p（1）= y。路徑連通的空間總是連通的。
局部路徑連通: X稱為局部路徑連通的，若且唯若其每個點都有一個特殊的局部基，這個局部基由路徑連通集構成。一個局部路徑連通空間是連通的，若且唯若它是路徑連通的。
單連通: X稱為單連通的，若且唯若它是路徑連通且每個連續映射 $f:{\mathbb {S}}^{1}\rightarrow X$ 都與常數映射同倫。
可縮: X稱為可縮的，若且唯若它同倫等價到一點。
超連通: X稱為超連通的，若且唯若任兩個非空開集的交集非空。超連通蘊含連通。
極連通: X稱為極連通的，若且唯若任兩個非空閉集的交集非空。極連通蘊含路徑連通。
平庸的: X稱為平庸的，若且唯若其開集只有本身與空集。

緊性

（詳細資料請參照緊集）

緊性: X稱為緊的，若且唯若其任意開覆蓋都有有限開覆蓋的加細。
林德洛夫性質: X稱為擁有林德洛夫性質，若且唯若其任意開覆蓋都有可數開覆蓋的加細。
仿緊: X稱為仿緊的，若且唯若其任意開覆蓋都有局部有限開覆蓋的加細。
可數緊: X稱為可數緊的，若且唯若其任意可數開覆蓋都有限開覆蓋的加細。
列緊: X稱為可數緊的，若且唯若其任意點列都包含收斂子列。
偽緊: X稱為偽緊的，若且唯若其上的任意實值連續函數都有界。

可度量化

可度量性意味著可賦予空間一個度量，使之給出該空間的拓撲。目前已有許多版本的度量化定理，其中最著名的是Urysohn度量化定理：一個第二可數的正則郝斯多夫空間可被度量化。由此可導出任何第二可數的流形皆可度量化。

擁有代數結構的拓撲空間

對於任一類代數結構，我們都可以考慮其上的拓撲結構，並要求相關的代數運算是連續映射。例如，一個拓撲群 $G$ 乃是一個拓撲空間配上連續映射 $m:G\times G\rightarrow G$ （群乘法）及 $i:G\rightarrow G$ （反元素），使之具備群結構。

同樣地，可定義拓撲向量空間為一個賦有拓撲結構的向量空間，使得加法與純量乘法是連續映射，這是泛函分析的主題；我們可以類似地定義拓撲環、拓撲域等等。

結合拓撲與代數結構，往往可以引出相當豐富而實用的理論，例如微分幾何探究的主齊性空間。在代數數論及代數幾何中，人們也常定義適當的拓撲結構以簡化理論，並得到較簡明的陳述；如數論中的局部體（一種拓撲域），伽羅瓦理論中考慮的Krull拓撲（一種特別的拓撲群），以及定義形式概形所不可少的I-進拓撲（一種拓撲環）等等。

擁有序結構的拓撲空間

拓撲空間也可能擁有自然的序結構，例子包括：

譜空間（spectral space）上的序結構。
特殊化預序：定義 $x\leq y\Leftrightarrow {\mathrm {cl}}(x)\subset {\mathrm {cl}}(y)$ 。常見於計算機科學。

外部連結

n個元素的集上總拓撲數規律

整數數列線上大全:OEIS-A000798.

參考書目

John L. Kelley, General Topology (GTM 27). Springer-Verlag. ISBN 0387901256.
James R. Munkres, Topology (second edition). Prentice Hall; ISBN 0131816292.

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拓撲學基礎教程 / 曼克勒斯著;羅嵩齡等譯. - 北京: 科學出版社, 1987年8月。
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拓撲學導論 / 鮑里索維奇等著;盛立人等譯. - 北京: 高等教育出版社, 1992年9月。
基礎拓撲學講義 / 尤承業編著. - 北京: 北京大學出版社, 1997年. ISBN 7-301-03103-3.