點

在幾何學、拓撲學以及數學的相關分支中，一個空間中的點用於描述給定空間中一種特別的物件，在空間中有類似於體積、面積、長度或其他高維類似物。一個點是一個零維度物件。點作為最簡單的幾何概念，通常作為幾何、物理、向量圖形和其他領域中的最基本的組成部分。

數學的點－歷史

在亞里斯多德的著作《論天體》第三冊中，已經提到數學中的點是沒有大小的^[1]^[2]，他依此來駁斥柏拉圖將數學的幾何形視為物理實體的構成要素^[3]（參見正多面體），並強調這與數學思想相違背^[4]：「數學的平面沒有厚度，所以不能構造物理實體。」他論述說，如果數學平面有厚度，那麼數學的線就要有寬度才能夠構成平面，而數學的點必須有大小才能構成線，但是在數學中已經明確定義數學的點是沒有大小的，因此柏拉圖的理論與數學相牴觸。從這裡，亞里斯多德陳述說，一個幾何物件只能分割成相同型態的幾何物件（而不會變成其它的東西）：平面只能分割成平面，而不能分割成線；線只能分割成線，不能分割成點；這樣的分割可以無限的進行，而不是像原子論者所說的，最後分割到原子（或是基本構成要素）就停止了。

因此，早在歐幾里得的《幾何原本》之前，數學中的點只用來標示位置的用法已經是共識。亞里斯多德提到點的時候，用的字是 στιγμὰς，是可見的點（spot），而歐幾里得則（小心翼翼的）採用另一個字 σημεῖόν，原意是「標示」（sign）：

σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν.^[5]

這句話的意思是：「點是沒有部分（μέρος）的東西」。點沒有部分，所以也就沒有大小^[6]。這個論點來源自亞里斯多德的「部分－整體」理論（part–whole theory）：

"the parts are causes of the whole"^[7]（整體是由部份所構成的。）

《幾何原本》的阿拉伯文版，將 σημεῖόν 翻譯為 نقطة^[8]，意思回到亞里斯多德的可見點^[9]；拉丁文版則將 σημεῖόν 翻譯為 punctum^[10]，意思是被尖物刺成的小洞。

歐幾里得幾何中的點

二維歐式空間中的有限點集(藍色).

在歐幾里得幾何中，點是空間中只有位置，沒有大小的圖形。點是整個歐幾里得幾何學的基礎，後者是研究點，線，面，體的一種科學。歐幾里得最初含糊的定義點作為"沒有部分的東西". 在二維歐式空間, 一個點被表示為一個有序對 $\,(x,y)$ , 其中第一個數字習慣上表示水平位置,通常記為 $\,x$ , 第二個數字習慣上表示豎直位置, 通常記為 $\,y$ . 這一思想很容易廣到三維情況, 此時一個點被表示為一個有序三元組, $\,(x,y,z)$ , 第三個數字表示高度, 通常記為 z。更加一般的情況下，點被表示為一個有序 n 元組： $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ 其中 n 為點所在的空間的維度.

在現代數學語言中，任何集合的元素都叫作「點」，但與三維空間中的點可以沒有任何關係。

其他數學分支中的點

在點集拓撲中的點, 定義為一個拓撲空間中的集合的元素.

儘管點被看做是主要的幾何學和拓撲學中的基本概念, 但是有些幾何和拓撲理論並不需要點的概念. 例如非交換幾何和非點集拓撲. 一個"非點空間"不是作為一個集合來定義的, 而是通過某種類似於幾何上的函數空間的結構(代數上的或者邏輯上的): 連續函數代數或者集合代數.

算術中的點

1點（Basis Point）的定義為「百分之零點零一」（0.01%）或「一個百分點的一百分之一」，可用算術符號‱表示。它在計算利率、匯率、股票價格等範疇被廣泛應用，因為這些範疇須要牽涉極微小百分數的計算。簡單來說：一百點=百分之一（100‱ = 1%）一萬點=百分之一百=一（10000‱ = 100% = 1）在比較百分數時，除了可以用百分點之外，兩個百分數之間細微的差距也可用點子來表達。例如4.02%與4.05%相差0.03個百分點。

參考資料

^ 論天體，第三冊（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），Thomas Aquinas 翻譯與註解
^ 論天體，第三冊（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），The Internet Classics Archive
^ Ancient Atomism, 3. Plato and Platonists （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, 史丹佛哲學百科
^ WHY DOES PLATO'S ELEMENT THEORY CONFLICT WITH MATHEMATICS (PDF). [2016-05-23]. （原始內容存檔 (PDF)於2021-04-02）.
^ 幾何原本，原文第一冊，定義一，柏修斯數位圖書館
^ Euclid's Elements of Geometry: From the Latin Translation of Commandine, by John Keill
^ Metaphysics, Book V, The Internet Classics Archive
^ Euclid, Elements （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），阿拉伯文版
^ Wiktionary: نقطة. [2016-05-23]. （原始內容存檔於2021-04-02）.
^ Euclid's Elements in the middle ages, Boethius tradition. [2016-05-23]. （原始內容存檔於2021-04-02）.

[1] 論天體，第三冊（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），Thomas Aquinas 翻譯與註解

[2] 論天體，第三冊（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），The Internet Classics Archive

[3] Ancient Atomism, 3. Plato and Platonists （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, 史丹佛哲學百科

[4] WHY DOES PLATO'S ELEMENT THEORY CONFLICT WITH MATHEMATICS (PDF). [2016-05-23]. （原始內容存檔 (PDF)於2021-04-02）.

[5] 幾何原本，原文第一冊，定義一，柏修斯數位圖書館

[6] Euclid's Elements of Geometry: From the Latin Translation of Commandine, by John Keill

[7] Metaphysics, Book V, The Internet Classics Archive

[8] Euclid, Elements （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），阿拉伯文版

[9] Wiktionary: نقطة. [2016-05-23]. （原始內容存檔於2021-04-02）.

[10] Euclid's Elements in the middle ages, Boethius tradition. [2016-05-23]. （原始內容存檔於2021-04-02）.

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