期望值

在機率論和統計學中，一個離散性隨機變數的期望值（或數學期望，亦簡稱期望，物理學中稱為期待值）是試驗中每次可能的結果乘以其結果機率的總和。換句話說，期望值像是隨機試驗在同樣的機會下重複多次，所有那些可能狀態平均的結果，便基本上等同「期望值」所期望的數。期望值可能與每一個結果都不相等。換句話說，期望值是該變數輸出值的加權平均。期望值並不一定包含於其分布值域，也並不一定等於值域平均值。

例如，擲一枚公平的六面骰子，其每次「點數」的期望值是3.5，計算如下：

{\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&=1\cdot {\frac {1}{6}}+2\cdot {\frac {1}{6}}+3\cdot {\frac {1}{6}}+4\cdot {\frac {1}{6}}+5\cdot {\frac {1}{6}}+6\cdot {\frac {1}{6}}\\[6pt]&={\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}=3.5\end{aligned}}

不過如上所說明的，3.5雖是「點數」的期望值，但卻不屬於可能結果中的任一個，沒有可能擲出此點數。

賭博是期望值的一種常見應用。例如，美國的輪盤中常用的輪盤上有38個數字，每一個數字被選中的機率都是相等的。賭注一般押在其中某一個數字上，如果輪盤的輸出值和這個數字相等，那麼下賭者可以獲得相當於賭注35倍的獎金（原注不包含在內），若輸出值和下壓數字不同，則賭注就輸掉了。考慮到38種所有的可能結果，然後這裡我們的設定的期望目標是「贏錢」，則因此，討論贏或輸兩種預想狀態的話，以1美元賭注押一個數字上，則獲利的期望值為：贏的「機率38分之1，能獲得35元」，加上「輸1元的情況37種」，結果約等於-0.0526美元。也就是說，平均起來每賭1美元就會輸掉0.0526美元，即美式輪盤以1美元作賭注的期望值為負0.0526美元。

{\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&=35\cdot {\frac {1}{38}}-1\cdot {\frac {37}{38}}\approx -0.0526\end{aligned}}

數學定義

如果 $X$ 是在機率空間 $(\Omega ,F,P)$ 中的隨機變數，那麼它的期望值 $\operatorname {E} (X)$ 的定義是：

\operatorname {E} (X)=\int _{\Omega }X\,\mathrm {d} P

並不是每一個隨機變數都有期望值的，因為有的時候上述積分不存在。

如果兩個隨機變數的分布相同，則它們的期望值也相同。

如果 $X$ 是離散的隨機變數，輸出值為 $x_{1},x_{2},\ldots$ ，和輸出值相應的機率為 $p_{1},p_{2},\ldots$ （機率和為1）。

若級數 $\sum _{i}p_{i}x_{i}$ 絕對收斂，那麼期望值 $\operatorname {E} (X)$ 是一個無限數列的和。

\operatorname {E} (X)=\sum _{i}p_{i}x_{i}

上面賭博的例子就是用這種方法求出期望值的。如果 $X$ 是連續的隨機變數，存在一個相應的機率密度函數 $f(x)$ ，若積分 $\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x$ 絕對收斂，那麼 $X$ 的期望值可以計算為：

\operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x

。

是針對於連續的隨機變數的，與離散隨機變數的期望值的算法同出一轍，由於輸出值是連續的，所以把求和改成了積分。

性質

期望值 $E$ 是線性函數。

$\operatorname {E} (aX+bY)=a\operatorname {E} (X)+b\operatorname {E} (Y)$

$X$ 和 $Y$ 為在同一機率空間的兩個隨機變數（可以獨立或者非獨立）， $a$ 和 $b$ 為任意實數。
一般的說，一個隨機變數的函數的期望值並不等於這個隨機變數的期望值的函數。
$\operatorname {E} (g(X))=\int _{\Omega }g(x)f(x)\,\mathrm {d} x\neq g(\operatorname {E} (X))$
在一般情況下，兩個隨機變數的積的期望值不等於這兩個隨機變數的期望值的積。
當 $\operatorname {E} (XY)=\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)$ 成立時，隨機變數 $X$ 和 $Y$ 的共變異數為0，又稱它們不相關。特別的，當兩個隨機變數獨立時，它們共變異數（若存在）為0。